Enigme : délit de fuite

Trois agents de la circulation ont remarqué qu'un automobiliste avait enfreint le code de la route. Aucun d'eux n'a retenu le numéro (à quatre chiffres) qui figurait sur la plaque minéralogique, mais chacun d'eux a retenu une particularité de ce nombre.

Un des agents se rappela que les deux premiers chiffres étaient identiques, l'autre que les deux derniers chiffres étaient également identiques. Enfin le troisième (qui était un peu mathématicien) a affirmé que ce nombre de quatre chiffres était un carré parfait.

Pouvait-on d'après ces données trouver le numéro de la voiture ?

Solution

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Soit aabb le nombre à déterminer
On a
0<a<9
0<b<9
Tous les carrés se terminent par 1,4,5,6 et 9.
aabb = 1000a+100a +10b +b= 11(100a+ b). Ce nombre est divisible par 11. Etant un carré: 100a+ b est donc divisible par 11.or 100a+ b = 99a +a + b, a+ b est donc divisible par 11.
0<a + b < 18, la seule valeur possible pour a + b est 11
Si b = 1   a = 10 à rejeter
Si b = 4   a = 7   7744 = 88*88
7744 est le seul carré parfait.